Loi normale repliée

En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale repliée (ou loi de défaut de forme) est une loi de probabilité continue liée à la loi normale. Considérons ${\displaystyle X}$ une variable aléatoire de loi normale avec moyenne ${\displaystyle \mu }$ et variance ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, alors la variable aléatoire ${\displaystyle Y=|X|}$ est de loi normale repliée. Ainsi on ne comptabilise que la valeur de la variable mais pas son signe.

Le terme « repliée » vient du fait que la densité de la loi « à gauche » de x=0 est repliée sur la partie « à droite » de x=0 en prenant la valeur absolue.

Caractérisations

Fonction de densité

La densité de probabilité est donnée par :

${\displaystyle f_{Y}(x)={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\exp \left(-{\frac {(-x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right) {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}&{\text{ pour }}x\geq 0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

Fonction de répartition

La fonction de répartition est donnée par :

${\displaystyle F_{Y}(y)={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\left[\exp \left(-{\frac {(-x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right) \exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\right]\mathrm {d} x.}&{\text{ pour }}y\geq 0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

En utilisant le changement de variable ${\displaystyle z=(x-\mu )/\sigma }$, on peut réécrire

${\displaystyle F_{Y}(y)=\int _{-\mu /\sigma }^{(y-\mu )/\sigma }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(z {\frac {2\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)\mathrm {d} z \int _{-\mu /\sigma }^{(y-\mu )/\sigma }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {z^{2}}{2}}\right)\mathrm {d} z.}$

De manière similaire, en utilisant le changement de variable ${\displaystyle z=-(x \mu )/\sigma {\sqrt {2}}}$ dans la première intégrale et ${\displaystyle z=(x-\mu )/{\sqrt {2}}\sigma }$ dans la deuxième, on peut écrire

${\displaystyle F_{Y}(y)={\frac {1}{2}}\left[{\mbox{erf}}\left({\frac {y \mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right) {\mbox{erf}}\left({\frac {y-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)\right],}$

où erf est la fonction d'erreur. On retrouve alors la loi demi-normale quand μ = 0.

Propriétés

L'espérance est donnée par :

${\displaystyle \mathbb {E} (Y)=\sigma {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\exp \left(-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right) \mu \left[1-2\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}\right)\right],}$

où Φ(•) est la fonction de répartition de la loi normale standard.

La variance est donnée par :

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\mu ^{2} \sigma ^{2}-\left\{\sigma {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\exp \left(-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right) \mu \left[1-2\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}\right)\right]\right\}^{2}.}$

Ces deux valeurs, espérance et variance, peuvent être vues comme les paramètres de position et d'échelle de la nouvelle loi.

Liens avec d'autres lois

• Quand μ = 0, la loi normale repliée est la loi demi-normale.
• Si Y est de loi normale repliée, Y/σ suit une loi du χ non centrée avec un degré de liberté et de paramètre μ/σ.

Références

• (en) FC Leone, RB Nottingham et LS Nelson, « The Folded Normal Distribution », Technometrics, Taylor & Francis, Ltd., vol. 3, n^o 4,‎ 1961, p. 543–550 (DOI 10.2307/1266560, JSTOR 1266560)
• (en) NL Johnson, « The folded normal distribution: accuracy of the estimation by maximum likelihood », Technometrics, Taylor & Francis, Ltd., vol. 4, n^o 2,‎ 1962, p. 249–256 (DOI 10.2307/1266622, JSTOR 1266622)
• (en) LS Nelson, « The Folded Normal Distribution », Journal of Quality Technology, vol. 12, n^o 4,‎ 1980, p. 236–238 (DOI 10.1080/00224065.1980.11980971)
• (en) RC Elandt, « The folded normal distribution: two methods of estimating parameters from moments », Technometrics, Taylor & Francis, Ltd., vol. 3, n^o 4,‎ 1961, p. 551–562 (DOI 10.2307/1266561, JSTOR 1266561)
• (en) PC Lin, « Application of the generalized folded-normal distribution to the process capability measures », The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, vol. 26, n^os 7–8,‎ 2005, p. 825–830 (DOI 10.1007/s00170-003-2043-x)

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